Question

设定义在R上的函数f（x）满足对?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，则{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为

0或1

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）满足对?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，结合函数单调性的定义，我们可得到函数f（x）为定义在R上的增函数，进而根据增函数的图象和性质可得其图象与直线y=a至多有一个交点，分析{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的几何意义，即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）满足对?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，
即t＞0时，f（x+t）-f（x）＞0，
t＜0时，f（x+t）-f（x）＜0，
即函数值随着自变量的增大而增大，减小而减小
则函数f（x）为定义在R上的增函数
则函数f（x）的图象与直线y=a至多有一个交点
故{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为0或1
故答案为：0或1

点评：本题考查的知识点是集合中元素个数，函数的单调性，函数的图象，其中正确理解{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的几何意义，即判断函数f（x）的图象与直线y=a交点的个数，是解答本题的关键．