Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为

3

：1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m²+3）y²+4my-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．

解答： 解：（1）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，解得a²=6，b²=2．
∴椭圆C的标准方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．
设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

x=my+2 x2 6 + y2 2 =1

，
消去x，得（m²+3）y²+4my-2=0，其判别式△=16m²+8（m²+3）＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=

-4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

．于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=

12

m2+3

．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为（

6

m2+3

，

-2m

m2+3

）．
∵TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为-m，其方程为y=-m（x-2）．
当x=t时，y=-m（t-2），所以点T的坐标为（t，-m（t-2）），
此时直线OT的斜率为

-m(t-2)

t

，其方程为y=

-m(t-2)

t

x，
将M点的坐标为（

6

m2+3

，

-2m

m2+3

）代入上式，得

-2m

m2+3

=

-m(2-t)

t

•

6

m2+3

．
解得t=3．

点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理及中点坐标公式的合理运用．