Question

已知数列{a_n+1}满足a_n+1=2a_n-1且n，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n； （2）求S_n；
（3）设f（x）=（x-2ⁿ+1）ln（x-2ⁿ+1）-x（n∈N^*），求证：f（x）≥

3Sn+2

6Sn-2

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2由此能求出a_n．
（2）由a_n=2ⁿ+1，知b n=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，由此能够求出S_n．
（3）由

3Sn+2

6Sn-2

=

1- 3 2n+1+1 +2

2- 6 2n+1+1 -2

=

3(1- 1 2n+1+1 )

- 6 2n+1+1

=

2n+1

-2

=-2n，f′(x)=ln(x-2n+1)，知当x=2ⁿ时，f'（x）=0；x＞2ⁿ时，f'（x）＞0，由此能够证明f（x）≥

3Sn+2

6Sn-2

成立．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2，∴数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ+1，∴b n=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，Sn=

1

2+1

-

1

22+1

+

1

22+1

-

1

23+1

+

1

23+1

-

1

24+1

++

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

．
（3）证明：

3Sn+2

6Sn-2

=

1- 3 2n+1+1 +2

2- 6 2n+1+1 -2

=

3(1- 1 2n+1+1 )

- 6 2n+1+1

=

2n+1

-2

=-2n，f′(x)=ln(x-2n+1)，
当x=2ⁿ时，f'（x）=0；x＞2ⁿ时f'（x）＞0，f（x）在（2ⁿ，+∞）上递增；2ⁿ-1＜x＜2ⁿ时，f(x)min=-2n=

3Sn+2

6Sn-2

∴f（x）≥

3Sn+2

6Sn-2

成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法、数列前n项和的解法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意迭代法、错位相减法和导数的合理运用．