Question

【题目】已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1 ， a3 ， a2+14成等差数列，数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）3n+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn=（﹣1）n ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：等比数列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，

∴2q2=1+q+14，解得q=3，

∴an=3n﹣1．

∵数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）3n+1（n∈N*）．

∴n=1时，a1b1=1，解得b1=1．

n≥2时，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）3n﹣1+1，

可得：anbn=（2n﹣1）3n﹣1，∴bn=2n﹣1．（n=1时也成立）．

∴bn=2n﹣1．

（2）解：cn=（﹣1）n =（﹣1）n =（﹣1）n ，

∴n=2k（k∈N*）时，数列{cn}的前n项和Tn=﹣ + +…﹣ + = = ．

n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{cn}的前n项和Tn=Tn+1﹣cn+1= ﹣ =﹣ ．

∴Tn= ．

【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式、递推关系即可得出．（2）cn=（﹣1）n =（﹣1）n ，对n分类讨论即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．