Question

3．锐角三角形ABC中，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，设AB=3，则AB边上的高为2+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把角放在锐角三角形中，使一些运算简单起来，本题主要考查两角和与差的正弦公式，根据分解后的结构特点，解方程组，做比得到结论，同角的三角函数之间的关系，换元解方程在直角三角形中，用定义求的结果

解答 解：锐角△ABC中，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，
∴sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{5}$…①
sinAcosB-cosAsinB=$\frac{1}{5}$…②，
∴sinAcosB=$\frac{2}{5}$，cosAsinB=$\frac{1}{5}$，
∴tanA=2tanB．
∵$\frac{π}{2}$＜A+B＜π，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，∴cos（A+B）=-$\frac{4}{5}$，tan（A+B）=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0，
解得tanB=$\frac{2±\sqrt{6}}{2}$，
∵B为锐角，
∴tanB=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，∴tanA=2tanB=2+$\sqrt{6}$．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=$\frac{CD}{tanA}$+$\frac{CD}{tanB}$，由AB=3得CD=2+$\sqrt{6}$，
故AB边上的高为2+$\sqrt{6}$．
故答案为：$2+\sqrt{6}$．

点评 以锐角三角形为载体，应用同角三角函数之间的关系，应用两角和与差的正弦公式，求解过程中应用代数方法解题，构造直角三角形用锐角三角函数解决问题，这种问题做起来有一定难度．