Question

（2012•青岛一模）已知等差数列{a_n}的公差大于零，且a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足cn=

an ，n≤5 bn  ，n＞5

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由题意及a₂＜a₄，可求a₂，a₄，利用等差数列的通项公式可求a₁，d，可求a_n，然后由等比数列的通项公式及求和可求b₁，q，可求
（2）当n≤5时，T_n=a₁+a₂+…+a_n，利用等差数列的求和公式可求，当n＞5时，T_n=T₅+（b₆+b₇+…+b_n），利用分组求和及等差、等比数列的求和公式可求

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则
由x²-18x+65=0解得x=5或x=13
因为d＞0，所以a₂＜a₄，则a₂=5，a₄=13
则

a1+d=5 a1+3d=13

，解得a₁=1，d=4
所以a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
因为

b3=b1q2=9 b1+b1q+b1q2=13

，因为q＞0，解得b₁=1，q=3
所以bn=3n-1…（7分）
（2）当n≤5时，T_n=a₁+a₂+…+a_n
=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n…（9分）
当n＞5时，T_n=T₅+（b₆+b₇+…+b_n）
=(2×52-5)+

33(1-3n-5)

1-3

=

3n-153

2

所以Tn=

2n2-n，n≤5 3n-153 2 ，n＞5

…（14分）

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的定义．运用基本量的思想求出数列的通项公式．考查分段函数、数列的求和的基本方法．运算求解能力，考查化归与转化思想．