Question

已知函数，（x＞0）．
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）确定函数解析式，利用函数的单调性，可得，利用基本不等式，即可得出结论；
（II）分类讨论，若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，从而可得结论；
（III）分类讨论，若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]，即可得出结论．
解答：（I）证明：∵x＞0，∴
∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和，即．
∴2ab=a+b＞．…（3分）
故，即ab＞1．…（4分）
（II）解：不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，
则a＞0，
①当a，b∈（0，1）时，在（0，1）上为减函数．
故，即，解得a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）
②当a，b∈[1，+∞）时，在（1，+∞）上是增函数．
故，即
此时a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）
（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故．
此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵在[1，+∞）上是增函数，
∴，即
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个根，即关于x的方程mx²-x+1=0有两个大于1的实根．…（12分）
设这两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∴，即
解得．
故m的取值范围是．…（14分）
点评：本题考查函数解析式的运用，考查基本不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．