Question

14．设命题p：?x∈R，函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）有意义，命题q：?x＞0，不等式$\sqrt{2x+1}$＜1+ax恒成立，如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真命题时的等价条件，利用命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的范围即可．

解答 解：当命题p为真命题
即f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，
即ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0对任意实数x均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-{\frac{1}{4}a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2，
当命题q为真命题
即：$\sqrt{2x+1}$-1＜ax对一切正实数均成立
即a＞$\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$对一切正实数x均成立，
∵x＞0，
∴$\sqrt{2x+1}$＞1，
∴$\sqrt{2x+1}$+1＞2，
∴$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$＜1，
∴命题q为真命题时a≥1．
∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，
∴p与q有且只有一个是真命题．
当p真q假时，a不存在；
当p假q真时，a∈[1，2]．
综上知a∈[1，2]．

点评 本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于一道中档题．