Question

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且满足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数λ的值，使数列{

Tn+λSn

n

}是等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n令n=1代入求得a₁、b₁的值，根据an=

S1            (n=1) Sn-Sn-1  (n≥2)

，求得数列{a_n}通项公式，代入2b_n=n-2-a_n，根据等比数列的定义，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，利用等差数列的定义求得实数λ的值，使数列{

Tn+λSn

n

}是等差数列．

解答：解：
（Ⅰ）证明：由已知，得2a₁=-2a₁+1-1+2
∴a₁=

1

2

∴b₁=-

3

4

由2S_n=-2a_n+n²-n+2，得2S_n+1=-2a_n+1+（n+1）²-（n+1）+2
两式作差得：2a_n+1=a_n+n．
∴

bn+1

bn

=

(n+1)-2-an+1

n-2-an

=

n-1- an+n 2

n-2-an

=

1

2

．
∴数列{b_n}是以-

3

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=-

3

4

（

1

2

）^n-1，
∴T_n=

- 3 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=-

3

2

+

3

2n+1

∵2b_n=n-2-a_n
∴a_n=n-2-2bn=

3

2n

+n-2
∴Sn=-an+

n2-n+2

2

-

3

2n

+

n2-3n

2

+3
∵数列{

Tn+λSn

n

}是等差数列的充要条件是

Tn+λSn

n

=An+B（A、B为常数）
即T_n+λS_n=An²+Bn
又Tn+λSn=-

3

2

+-

3

2n+1

+λ(-

3

2n

+

n2-3n

2

+3)=

λ(n2-3n)

2

-(λ-

1

2

)(

3

2n

-3)
∴当且仅当(λ-

1

2

)=0即λ=

1

2

时
数列{

Tn+λSn

n

}是等差数列．

点评：考查等比数列的定义和前n项和公式，及根据an=

S1            (n=1) Sn-Sn-1  (n≥2)

求得数列{a_n}通项公式，体现分类讨论的思想方法，利用等差数列的定义探讨参数λ的值，增加了试题的难度，属中档题．