Question

对于函数f（x），其定义域为D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax²（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据凸函数的定义，作差f（）-[f（x₁）+f（x₂）]判断即可；
（2）依题意，f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]?＞，通过比较其真数的大小即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x₁≠x₂，则
f（）-[f（x₁）+f（x₂）]=a-（a-a）=-＜0，…2分
∴f（）＜[f（x₁）+f（x₂）]，…4分
∴f（x）不是其定义域上的凸函数…6分
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]，…8分
即＞（log_ax₁+log_ax₂）=①…10分
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴-x₁x₂=＞0，即＞…12分
故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）…14分
点评：本题考查对数函数的单调性，考查作差法，着重考查推理证明的逻辑思维能力，属于难题．