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对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f()>[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.
【答案】分析:(1)根据凸函数的定义,作差f()-[f(x1)+f(x2)]判断即可;
(2)依题意,f()>[f(x1)+f(x2)]?,通过比较其真数的大小即可求得实数a的取值范围.
解答:解:(1)f(x)不是其定义域上的凸函数.
f(x)的定义域为R,设x1≠x2,则
f()-[f(x1)+f(x2)]=a-(a-a)=-<0,…2分
∴f()<[f(x1)+f(x2)],…4分
∴f(x)不是其定义域上的凸函数…6分
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)内是凸函数,
∴f()>[f(x1)+f(x2)],…8分
(logax1+logax2)=①…10分
∵x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
-x1x2=>0,即…12分
故要①成立,则a>1.
∴实数a的取值范围是(1,+∞)…14分
点评:本题考查对数函数的单调性,考查作差法,着重考查推理证明的逻辑思维能力,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•奉贤区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:
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②f(x)=x不是“λ-伴随函数”;
③f(x)=x2是“λ-伴随函数”;
④“
1
2
-伴随函数”至少有一个零点.
其中正确结论的个数是(  )个.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(数学公式)>数学公式[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

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