Question

若过椭圆C：

X2

4

+

y2

3

=1的左焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则

1

|AF|

+

1

|BF|

=（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  3

  4

• C、

  3

  5

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁•x₂和x₁+x₂的值，进而根据直线方程求得y₁y₂的值，最后根据弦长公式求出|AB|，利用韦达定理求出|AF||BF|，即可求得答案．

解答：解：由

X2

4

+

y2

3

=1，得a²=4，b²=3，c²=a²-b²=1，左焦点为（-1，0）．
则直线l的方程为y=x+1．
代入

X2

4

+

y2

3

=1，得7x²+8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=-

8

7

，x₁+x₂=-

8

7

，
y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=-

8

7

-

8

7

+1=-

9

7

，
|AB|=

1+1

(- 8 7 )2+ 32 7

=

24

7

，
|AF||BF|=

(x1+1)2+ y12

•

(x2+1)2+y22

=2|y₁y₂|=

18

7

∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

|AB|

|AF||BF|

=

4

3

故选A．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．