Question

17．正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：
（1）AC⊥平面B′D′DB；
（2）BD与B′C的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥BD，AC⊥BB′，通过直线与平面垂直的判定定理即可证明．
（2）由BD∥B′D′，可得∠CB′D′即为BD与B′C的夹角，设正方体的边长为1，则可求B′D′=B′C=CD′=$\sqrt{2}$，即∠CB′D′=60°，从而可求BD与B′C的夹角的余弦值．

解答 证明：（1）正方体ABCD-A′B′C′D′，B′B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB′，
又∵AC、BD是正方形的对角线，∴AC⊥BD，又BD∩B′B=B，
∴AC⊥平面BB′D′D；
（2）∵BD∥B′D′，
∴可得∠CB′D′即为BD与B′C的夹角，
设正方体的边长为1，则可求：B′D′=B′C=CD′=$\sqrt{2}$，即△B′CD′为等边三角形．
∴∠CB′D′=60°，
∴cos∠CB′D′=$\frac{1}{2}$，即BD与B′C的夹角的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于基本知识的考查．