【题目】本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列
的一个子数列.
设数列是一个首项为
、公差为
的无穷等差数列.
(1)若,
,
成等比数列,求其公比
.
(2)若,从数列
中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为
的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若,从数列
中取出第1项、第
项(设
)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当
为何值时,该数列为
的无穷等比子数列,请说明理由.
【答案】略
【解析】
(1)由题设,得,即
,得
,又
,于是
,故其公比
.(4分)
(2)设等比数列为,其公比
,
,(6分)
由题设.
假设数列为
的无穷等比子数列,则对任意自然数
,都存在
,使
,
即,得
,(8分)
当时,
,与假设矛盾,
故该数列不为的无穷等比子数列.(10分)
(3)①设的无穷等比子数列为
,其公比
(
),得
,
由题设,在等差数列中,
,
,
因为数列为
的无穷等比子数列,所以对任意自然数
,都存在
,使
,
即,得
,
由于上式对任意大于等于的正整数
都成立,且
,
均为正整数,
可知必为正整数,又
,故
是大于1的正整数.(14分)
②再证明:若是大于1的正整数,则数列
存在无穷等比子数列.
即证明无穷等比数列中的每一项均为数列
中的项.
在等比数列中,
,
在等差数列中,
,
,
若为数列
中的第
项,则由
,得
,整理得
,
由,
均为正整数,得
也为正整数,
故无穷等比数列中的每一项均为数列
中的项,得证.
综上,当且仅当是大于1的正整数时,数列
存在无穷等比子数列.(18分)
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.点
、
、
分别为棱
、
、
的中点,
是线段
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱
上,且直线
与直线
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且
的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数
(元)的分布列并求其数学期望.
附:参考公式和数据:,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在棱长为2的正方体中,点
是对角线
上的点(点
与
、
不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得
平面
;
③若的面积为
,则
;
④若、
分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点列为函数
图像上的点,点列
顺次为
轴上的点,其中
,对任意
,点
构成以
为顶点的等腰三角形.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)若数列中任意连续三项能构成三角形的三边,求
的取值范围;
(3)求证:对任意,
是常数,并求数列
的通项公式.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成曲边三角形,作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块,阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的,由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子,他称此为“皮匠刀定理”,如图,若,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A.B.
C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点,
为线段
上的动点.
(1)求证:平面平面
.
(2)试确定点的位置,使平面
与平面
所成的锐二面角为
.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com