Question

已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M=（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l平行于OM，且与椭圆交于A、B两个不同点．
（ⅰ）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，利用长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1），可建立几何量之间的关系，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）先假设l的方程为y=

1

2

x+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为

OA

•

OB

＜0且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k₁，k₂，证明k₁+k₂=0，即可得到直线MA、MB的倾斜角互补，从而可知直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，则
∵长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1）．
∴

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

   （2分）
解得

a2=8 b2=2.

，故椭圆的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．（2分）
（Ⅱ）解：（ⅰ）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=kOM=

1

2

，
又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

得x²+2mx+2m²-4=0．
又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，于是-2＜m＜2．（3分）
∠AOB为钝角等价于

OA

•

OB

＜0且m≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(

1

2

x1+m)(

1

2

x2+m)=

5

4

x1x2+

m

2

(x1+x2)+m2＜0，
由韦达定理x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4代入上式，
化简整理得m²＜2，即-

2

＜m＜

2

，故所求范围是(-

2

，0)∪(0，

2

)．（2分）
（ⅱ）证明：依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k₁，k₂．
由k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．（2分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

= ( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2) (x1-2)(x2-2) = x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) (x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
所以k₁+k₂=0，故直线MA、MB的倾斜角互补，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．                   （3分）

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理解决直线与椭圆的位置关系问题．