Question

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，，，以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直线l与（I）中椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则．
设椭圆方程为，，于是解得，
∴所求椭圆方程为．（6分）
（II）∵条件等价于
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，）不在x轴上矛盾．
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）
由
得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0得4k²+1＞m²．（10分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀），
则．
∵，∴，即．
解得：（12分）
（将点的坐标代入亦可得到此结果）
由4k²+1＞m²，得4k²＜143
∴
∴存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是．（14分）
分析：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则．
由此可推出所求椭圆方程为．
（II）由题设知，设直线l：y=kx+m（k≠0），得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，再由根的判别式和根与系数的关系可知存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是．
点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．