Question

19．设数列{a_n}前n项的和为${S_n}，且{a_1}=1，\frac{S_n}{n}={a_n}-n+1$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={a_n}•{3^{a_n}}$，求数列{b_n}前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （I）$\frac{{S}_{n}}{n}$=a_n-n+1，S_n=na_n-n（n-1），当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），化为a_n-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）${b_n}={a_n}•{3^{a_n}}$=（2n-1）•3^2n-1=$\frac{1}{3}（2n-1）•{9}^{n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{{S}_{n}}{n}$=a_n-n+1，∴S_n=na_n-n（n-1），当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
两式相减可得：a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），化为a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）${b_n}={a_n}•{3^{a_n}}$=（2n-1）•3^2n-1=$\frac{1}{3}（2n-1）•{9}^{n}$，
∴数列{b_n}前n项的和T_n=$\frac{1}{3}[9+3×{9}^{2}$+5×9³+…+（2n-1）•9ⁿ]，
9T_n=$\frac{1}{3}[{9}^{2}+3×{9}^{3}$+…+（2n-3）•9ⁿ+（2n-1）•9ⁿ⁺¹]，
∴-8T_n=$\frac{1}{3}[9+2（{9}^{2}+{9}^{3}+…+{9}^{n}）-（2n-1）•{9}^{n+1}]$=$\frac{1}{3}[2×\frac{9×（{9}^{n}-1）}{9-1}-9-（2n-1）•{9}^{n+1}]$=$\frac{5-8n}{12}×{9}^{n+1}-\frac{15}{4}$，
∴T_n=$\frac{8n-5}{96}×{9}^{n+1}$+$\frac{15}{32}$．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．