Question

已知△ABC的面积S=a²-（b-c）²且b+c=8，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

，化简后结合三角形的面积公式，代入式子：S=a²-（b-c）²化简，利用倍角公式求出tan

A

2

的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，代入三角形面积公式，利用基本不等式求出最大值．

解答： 解：由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
则b²+c²-a²=2bc•cosA，
因为S=a²-（b-c）²=a²-（b²+c²-2bc）=2bc-2bc•cosA，
所以

1

2

bcsinA=2bc（1-cosA），即sinA=4（1-cosA）
则2sin

A

2

cos

A

2

=4×2sin²

A

2

，cos

A

2

=4sin

A

2

，
所以tan

A

2

=

1

4

，
则sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=

2sin A 2 cos A 2

sin2 A 2 +cos2 A 2

=

2tan A 2

tan2 A 2 +1

=

2× 1 4

1 16 +1

=

8

17

，
因为b+c=8，所以△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc≤

4

17

(

b+c

2

)2=

64

17

，
当且仅当b=c时取等号，此时△ABC面积的最大值是

64

17

．

点评：本题考查倍角公式，同角三角函数的基本关系，余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．