Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，AA₁：AB=

2

：1，则异面直线AB₁与BD所成的角为

 

．

Answer 1

分析：要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角，利用余弦定理得到角的余弦值，得到角的大小．

解答：解：取A₁C₁的中点D₁，连接B₁D₁，
∵D是AC的中点，
∴B₁D₁∥BD，
∴∠AB₁D₁即为异面直线AB₁与BD所成的角．
连接AD₁，设AB=a，则AA₁=

2

a，
∴AB₁=

3

a，B₁D₁=

3

2

a，AD₁=

a2 4 +2a2

=

3

2

a．
∴cos∠AB₁D₁=

3a2+ 3 4 a2- 9 4 a2

2× 3 a× 3 2 a

=

1

2

，
∴∠AB₁D₁=60°．
故答案为：60°

点评：本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．