Question

（2007•奉贤区一模）若虚数z满足z+

1

z

∈R，则|z-2i|的取值范围是

[1，

5

)∪(

5

，3]

．

Answer 1

分析：设Z=a+bi（a，b∈R），由虚数z满足z+

1

z

∈R，易得a²+b²=1（b≠0），则|z-2i|=

a2+(b-2)2

（b≠0），分析a²+b²=1（b≠0）及

a2+(b-2)2

（b≠0）的几何意义，即可得到答案．

解答：解：设Z=a+bi（a，b∈R）
由Z为虚数，故b≠0
则z+

1

z

=a+bi+

a-bi

a2+b2

，
若z+

1

z

∈R，则b-

b

a2+b2

=0
则a²+b²=1（b≠0）
又∵|z-2i|=|a+（b-2）i|=

a2+(b-2)2

（b≠0）
故|z-2i|∈[1，

5

)∪(

5

，3]
故答案为：[1，

5

)∪(

5

，3]

点评：本题考查的知识点是复数求模，其中根据已知条件求出a²+b²=1（b≠0），是解答本题的关键，解答中易忽略Z为虚数，从而缺少b≠0的限制，而错解为[1，3]．