Question

【题目】集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，BA，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的． （Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时 的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定||=0； 表示对子集族D中所有成员A求和）；
（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对A∈D，记k=max|A|， （其中max表示最大值），
（ⅰ）求f（2）；
（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={，{1}，{2}，{1，2}} 此时
（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为Dk ，
（ⅰ）易知当D=D2时， 达到最大值，
∴
（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D'，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D'为k﹣1元或k元的子集，
则 =
现设D'有l（ ）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出
现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有 个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生 个不同的k﹣1元子集．
由（ⅰ）得
【解析】（Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D，并计算此时 的值；（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为Dk ， （ⅰ）易知当D=D2时， 达到最大值，求出f（2）的值即可；（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D'，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D'为k﹣1元或k元的子集，则求出 ，设D'有l（ ）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有 个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生 个不同的k﹣1元子集，求出f（k）即可．
【考点精析】掌握子集与真子集是解答本题的根本，需要知道任何一个集合是它本身的子集；n个元素的子集有2n个,n个元素的真子集有2n －1个,n个元素的非空真子集有2n－2个．