Question

已知命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由题条件，先解出两个命题为真命题时a的取值范围，再根据命题p是真命题，同时命题q是假命题，即可求得a的取值范围．

解答： 解：依题意，p为真命题时，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

≤3，
∴a²-5a-6≥0，
∴a≥6或a≤-1，
q为真命题，即不等式ax²+2x-1＞0有解，
当a=0时，2x-1＞0有解x＞

1

2

；
当a＞0时，显然不等式ax²+2x-1＞0有解；
当a＜0时，不等式ax²+2x-1＞0有解?△=4-4a×（-1）=4+4a＞0，解得-1＜a＜0；
综上所述，命题q为真命题，则a＞-1．
∵命题p是真命题，命题q是假命题，
∴

a≥6或a≤-1 a≤-1

，解得：a≤-1．
故答案为：a≤-1．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是对p条件中恒成立问题的正确转化以及命题q正确时a的取值范围的确定，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查推理与运算能力，属于中档题．