Question

已知直线y=-2x-

2

3

与曲线f(x)=

1

3

x3-bx相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有两个解x₁，x₂．
求：①m的取值范围     ②比较x₁x₂+9与3（x₁+x₂）的大小．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数f'（x），设出切点（x₀，y₀），然后根据在x=x₀的导数等于切线的斜率，切点在切线和函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出b的值；
（2）①构造函数 h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m，利用导数研究函数h（x）的单调性，转化成使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，建立关系式，解之即可求出m的范围．②做差比较较x₁x₂+9与3（x₁+x₂）的大小．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-bx，∴f'（x）=x²-b
设切点为（x₀，y₀），依题意得

1 3 x 3 0 -bx0=y0 y0=-2x0- 2 3 x 2 0 -b=-2

解得：b=3
（2）设h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m
则h'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
1令h'（x）=023，得x=-14或x=35在（0，3）6上，h'（x）＜07，
故h（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上，h'（x）＞0，
故h（x）在（3，+∞）上单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需

h(0)=-m＞0 h(3)=-9-m＜0

，∴-9＜m＜0
此时存在x＞3时，h（x）＞0，例如当x=5时，h=

125

3

-25=15-m=

5

3

-m＞0．
∴①所求m的范围是：-9＜m＜0．
②由①知，方程f（x）=x²+m2在（0，+∞）3上有两个解x₁，x₂，
满足0＜x₁＜3，x₂＞3，x₁x₂+9-3（x₁+x₂）=（3-x₁）（3-x₂）＜0，
x₁x₂+9＜3（x₁+x₂）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数与方程的综合运用等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．