Question

矩形ABCD中，AB=

2

，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P．
（1）求二面角B-PQ-C的大小；
（2）证明PQ⊥BC；
（3）求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据折起前后的线线关系可知PB⊥PQ，APC⊥PQ，则∠BPC就是所求的二面角的平面角，根据勾股定理可知△PBC是直角三角形，即可求出所求；
（2）取BC中点M，连PM、QM，则有PM⊥BC，QM⊥BC，而PM∩QM=M，PM?平面PQM，QM?平面PQM，根据线面垂直判定定理可知BC⊥平面PQM，而PQ?平面PQM，根据线面垂直的性质可知PQ⊥BC．
（3）根据面面垂直的判定定理可知平面PQM⊥平面BCQ，作PN⊥QM，则有PN⊥平面BCQ，从而∠PQN就是所求的角，在等腰△BCQ中，求出OM，在等腰△BCP中，易得PM=1，则△PQM是等腰直角三角形，从而求出所求．

解答：（1）解：在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ，
所以，在折起后，有PB⊥PQ，APC⊥PQ，
所以∠BPC就是所求的二面角的平面角．
因为PB=PC=AB=

2

，BC=2，
所以PB²+PC²=BC²，即△PBC是直角三角形，
所以∠BPC=90°．（4分）

（2）证明：由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形，
取BC中点M，连PM、QM，
则有PM⊥BC，QM⊥BC，
因为PM∩QM=M，PM?平面PQM，QM?平面PQM，
所以BC⊥平面PQM，
因为PQ?平面PQM，
所以PQ⊥BC．（9分）

（3）解：由（2）知BC⊥平面PQM，而BC?平面BCQ，
所以平面PQM⊥平面BCQ．
又平面PQM∩平面BCQ=QM，
所以，作PN⊥QM，有PN⊥平面BCQ，
所以QN是PQ在平面BCQ内的射影，
所以∠PQN就是所求的角．
在等腰△BCQ中，QC=

3

，MC=1，所以得QM=

2

；
在等腰△BCP中，易得PM=1，
所以△PQM是等腰直角三角形，于是∠PQN=∠PQM=45°．（14分）

点评：本题主要考查了二面角的度量，以及线面垂直的性质和线面所成角的求解，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．