Question

18．直线y=x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． |b|=$\sqrt{2}$
• B． -1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$
• C． -1≤b≤$\sqrt{2}$
• D． 0＜b≤1或b=$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，-1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得．

解答 解：曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$有即 x²+y²=1 （x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．
如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得 b=1；
当直线y=x+b经过点B、点C时，0=1+b，求得b=-1；
当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，求得b=-$\sqrt{2}$，或 b=$\sqrt{2}$（舍去），
故要求的实数b的范围为-1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观．