Question

已知二项式(

3	x

+

1

x

)n的展开式中各项系数的和为256．
（1）求n．
（2）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析：（1）：观察（

3	x

+

1

x

）ⁿ可知，展开式中各项系数的和为256，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256，从而得n
（2）：利用二项展开式中的第r+1项，即通项公式Tr+1=c_n^r（

3	x

）^n-r（

1

x

）^r，将第一问的n代入，并整理，令x的次数为0，解出r，从而得解．

解答：解：（1）由题意得C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256，
即2ⁿ=256，解得n=8
（2）该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=

C

r 8

(

3	x

)8-r•(

1

x

)r=

C

r 8

•x

8-4r

3

令

8-4r

3

=0，得r=2，此时，常数项为T₃=C₈²=28

点评：（1）：主要考查二项式展开式的系数的求法，要区别各项二项式系数与各项二项展开式的系数的区别，本题由于x前面没有系数，所以巧合，展开式的各项系数和正好等于所有项的二项式系数和，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256．
方法2：特殊值代入法：可以令x=1，代入（

3	x

+

1

x

）ⁿ中，直接得2ⁿ=256，解得n=8．
（2）主要考查二项展开式中的特定项，需要用到二项展开式中的第r+1项，即通项公式Tr+1=c_n^r（

3	x

）^n-r（

1

x

）^r，要牢记这个公式，这种题型在高考中经常碰到．