Question

设函数f(x)＝3x²＋1，g(x)＝2x，现有数列{a_n}满足条件：对于n∈N^*，a_n＞0且f(a_n＋1)－f(a_n)＝g(a_n+1＋)，又设数列{b_n}满足条件：b_n＝(a＞0且a≠1，n∈N^*)．

(1)求证：数列{a_n}为等比数列；

(2)求证：数列是等差数列；

(3)设k，L∈N^**，且k＋L＝5，b_k＝，b_L＝，求数列{b_n}的通项公式；

(4)如果k＋L＝M₀(k，L∈N_＋，M₀＞3且M₀是奇数)，且b_k＝，b_L＝，求从第几项开始a_n＞1恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x，f(an＋1)-f(an)＝g(an＋1＋) 　　∴3(an＋1)2＋1-3a2n-1＝2(an＋1＋)，即6an＝2an＋1 　　∴＝3　∴数列{an}是以3为公比的等比等列…………3分 　　(2)∵bn＝　∴＝，＝ 　　∴-＝＝ 　　∴数列{}是以为首项，公差为的等差数列…………6分 　　(3)为方便起见，记数列{}的公差为，由于． 　　又∵bk＝，bL＝ 　　∴，∴ 　　∴ 　　∵k＋L＝5　∴ 　　∴＝…………10分 　　(4)若k＋L＝M0，由(3)可知＝＝3M0-3n＋1 　　假设第M＋1项开始满足an＞1恒成立， 　　∵bn＝(，n∈N*)　∴ 　　由(3)知，∴0＜a＜1，所以要an＞1恒成立，只需＜0，即 　　又M∈N* 　　∴M＝M0，即数列{an}从第M0＋1项开始以后的项满足an＞1…14分