Question

设函数f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x（x∈R）．
（1）当方程f（x）=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；
（2）当m=1时，求过点（0，f（0））作曲线y=f（x）的切线的方程；
（3）若m＞0且当x∈[1-m，3]时，恒有f（x）≤0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对解析式提出x进行化简，再把“f（x）=0只有一个实数解”，转化为“-

1

3

x2+x +(m2-1)=0没有实数解”，再由判别式的符号与方程根的关系列出不等式，求出m的值；
（2）先把m=1代入解析式并求出导数，设出切点坐标（x₀，y₀），代入解析式求出纵坐标，再由导数的几何意义点斜式求出切线方程，将原点坐标代入求出x₀的值，再代入切线方程化简即可；
（3）由题意求出导数并因式分解，求出函数的临界点，判断出函数的单调区间，再由区间端点进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，再求出函数的最大值，再列出不等式组，求出m的范围．

解答：解：（1）由题意得，f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x
=x[-

1

3

x2+x +(m2-1)]，
∵方程f（x）=0只有一个实数解，
∴-

1

3

x2+x +(m2-1)=0没有实数解，
∴△=1+

4

3

(m2-1)＜0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

，
∴实数m的取值范围是(-

1

2

，

1

2

)．
（2）当m=1时，f(x)=-

1

3

x3+x2，则f′（x）=-x²+2x，
设切点为（x₀，y₀），y0=-

1

3

x03+x02，
∴切线方程设为y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），
即y-(-

1

3

x03+x02)=(-x02+2x0)(x-x0)①，
将原点（0，0）代入得，0-(-

1

3

x03+x02)=(-x02+2x0)(0-x0)，
解得x₀=0或x0=

3

2

，代入①得，y=0或3x-4y=0，
则过（0，f（0））的切线的方程为：y=0或3x-4y=0，
（3）由题意得，f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1），
由f′（x）=0得，x=m+1或x=1-m，
∵m＞0，∴m+1＞1-m，
∴f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）内单调递减，在（1-m，1+m）内单调递增．
①当1+m≥3，即m≥2时，f（x）在区间[1-m，3]上是增函数，
∴f(x)max=f(3)=3m2-3．
∴

m≥2 3m2-3≤0

，解得m无解，
②当1+m＜3时，即0＜m＜2时，
则f（x）在（1-m，1+m）内单调递增，在（1+m，+∞）内单调递减，
∴f(x)max=f(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

，
∴

0＜m＜2 2 3 m3+m2- 1 3 ≤0

，即

0＜m＜2 (m+1)2(2m-1)≤0

，
解得0＜m≤

1

2

，
综上得，m的取值范围为（0，

1

2

]．

点评：本题考查了导数的综合应用，导数的几何意义，直线的点斜式方程，以及导数与函数的单调性、最值的关系，涉及了恒成立问题的处理，分类讨论思想．