Question

已知定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0]上是减少的，且f（

1

3

）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

• A、（-∞，-

  1

  3

  ）
• B、（

  1

  3

  ，+∞）
• C、（-∞，-

  1

  3

  ）∪（

  1

  3

  ，+∞）
• D、（-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题利用函数的奇偶性得到函数图象特征，再利用函数函数f（x）在（-∞，0]上是单调递减的，得到函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，利用f（

1

3

）=0，得到函数f（x）的图象经过两定点，从而得到函数图象特征，得到函数值的正负情况，再解不等式f（x）＞0，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），函数图象 关于y轴对称．
∵函数f（x）在（-∞，0]上是单调递减的，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵f（

1

3

）=0，
∴函数f（x）的图象经过点（

1

3

，0）和（-

1

3

，0）．
∴当x＜-

1

3

时，f（x）＞0，
当-

1

3

＜x≤0时，f（x）＜0，
当0＜x＜

1

3

时，f（x）＜0，
当x＞

1

3

时，f（x）＞0，
∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜-

1

3

或x＞

1

3

}，
故选C．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性与图象的关系，本题难度不大，属于基础题．