Question

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁上的动点．

（1）当M在何处时，BC₁//平面MB₁A，并证明之；

（2）在（1）下，求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的大小；

（3）求B—AB₁M体积的最大值．

Answer 1

解：（I）当M在A₁C₁中点时，BC₁//平面MB₁A

∵M为A₁C₁中点，延长AM、CC₁，使AM与CC₁延长线交于N，则NC₁=C₁C=a

连结NB₁并延长与CB延长线交于G，则BG=CB，NB₁=B₁G     （2分）

在△CGN中，BC₁为中位BC₁//GN

又GN平面MAB₁，∴BC₁//平面MAB₁ （4分）

（II）∵△AGC中， BC=BA=BG     ∴∠GAC=90°

 即AC⊥AG     又AG⊥AA₁   

      （6分）

 ∴∠MAC为平面MB₁A与平面ABC所成二面角的平面角

 

 ∴所求二面角为               （8分）

（Ⅲ）设动点M到平面A₁ABB₁的距离为h_M．

  即B—AB₁M体积最大值为此时M点与C₁重合．   （14分）