【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵BC=B1C1=1,CD=C1D= BB1=1,∠BCC1= ,∠B1C1D=π﹣∠BCC1= ,
∴BD=1,B1D= ,
∴BB12=BD2+B1D2,∴BD⊥B1D.
∵AB⊥平面BB1C1C,BD平面BB1C1C,
∴AB⊥B1D,又AB平面ABD,BD平面ABD,AB∩BD=B,
∴DB1⊥平面ABD
(2)解:以B为原点,以BB1,BA所在直线为x轴,z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,如图所示:
则A(0,0,2),D( , ,0),B1(2,0,0),A1(2,0,2),
∴ =( ,﹣ ,0), =(﹣2,0,2), =(0,0,2).
设平面AB1D的法向量为 =(x1,y1,z1),平面A1B1D的法向量为 =(x2,y2,z2),
则 , ,即 , ,
令x1=1得 =(1, ,1),令x2=1得 =(1, ,0).
∴cos< , >= = = .
∵二面角A﹣B1D﹣A1是锐角,
∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值为 .
【解析】(1)利用余弦定理计算BD,B1D,再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D,由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D,于是得出B1D⊥平面ABD;(2)以B为原点建立坐标系,求出平面AB1D的法向量 ,平面A1B1D的法向量 ,计算cos< , >即可得出二面角的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=(x+1)lnx,g(x)=a(x﹣1)(a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求证:ln2ln3…lnn> (n≥2,n∈N+).
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【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:
组别 | PM2.5浓度(微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(1)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. ①求频率分布直方图中a的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(2)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列.
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【题目】已知数列{an}满足:a1=1,an+1﹣ansin2θ=sin2θcos2nθ.
(Ⅰ)当θ= 时,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列{bn}满足bn=sin ,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:对任意n∈N* , Sn<3+ .
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【题目】已知函数 ,直线l:x﹣ty﹣2=0.
(1)若直线l与曲线y=f(x)有且仅有一个公共点,求公共点横坐标的值;
(2)若0<m<n,m+n≤2,求证:f(m)>f(n).
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