Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的是

①②④

．（把你认为正确的结论都填上）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是

2

；
④二面角C-B₁D₁-C₁的正切值是

2

；
⑤过点A₁与异面直线AD与CB₁成70°角的直线有2条．

Answer 1

分析：根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②，根据求二面角的大小的方法可得③不正确、④正确，
再根据异面直线所成的角可得⑤不正确，由此得到答案．

解答：解：如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
由于BD∥B₁D₁ ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁ ，故①正确．
由正方体的性质可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正确．
AC₁与底面ABCD所成角的正切值为

C C1

AC

=

1

2

，故③不正确．
取B₁D₁ 的中点M，则∠CMC₁ 即为二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，Rt△CMC₁中，tan∠CMC₁=

C C1

C1M

=

1

2 2

=

2

，故④正确．
由于异面直线AD与CB₁成45°的二面角，如图，过A₁ 作MN∥AD、PQ∥CB₁，设MN与PQ确定平面α，∠PA₁M=45°，过A₁ 在面α上方作射线A₁H，
则满足与MN、PQ 成70°的射线A₁H有4条：满足∠MA₁H=∠PA₁H=70°的有一条，满足∠PA₁H=∠NA₁H=70°的有一条，满足∠NA₁H=∠QA₁H=70°的有一条，
满足QA₁H=∠MA₁H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A₁与异面直线AD与CB₁成70°角的直线有4条，故⑤不正确．

故答案为 ①②④．

点评：本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．