Question

已知点A，B，C是抛物线L：y²=2px（p＞0）上的不同的三点，O为坐标原点，直线OA∥BC，且抛物线L的准线方程为x=-1．
（1）求抛物线L的方程；
（2）若△ABC的重心在直线x=-1上，求△ABC的面积取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用抛物线L的准线方程，能求出抛物线L的方程．
（Ⅱ）设直线OA，BC的方程分别为y=kx与y=kx+b，分别与抛物线联立，求出A点坐标，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），再利用韦达定理和导数知识能求了△ABC的面积的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线L：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，
∴

p

2

=1，解得p=2，
∴抛物线L的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设直线OA，BC的方程分别为
y=kx与y=kx+b，（k≠0），
由

y=kx y2=4x

，消去y，得k²x²=4x，
解得A点坐标为A（

4

k2

，

4

k

），
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=kx+b y2=4x

消去x，得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
△=（2kb-4）²-4k²b²=16-16kb＞0，即kb＜1，
又由韦达定理得x1+x2=

4-2kb

k2

，
∴△ABC的重心的横坐标为

4 k2 + 4-2kb k2

3

=

8-2kb

3k2

=2，
化简得b=

4-3k2

k

，代入kb＜1，得k²＞1．
又△ABC的面积S=

1

2

×(

k2+1

•

16-16kb

k2

)×

|b|

1+k2

=

|2b| 1-kb

k2

=

2|4-3k2|

k2|k|

3k2-3

=2|

4

k2

-3|

3- 3 k2

，
令t=

1

k2

，则S=2

3

×

(4t-3)2(1-t)

，t∈（0，1）
构造函数f（t）=（4t-3）²（1-t），t∈（0，1），
则f′（t）=（4t-3）（11-12t），
∴函数f（t）在（0，

3

4

）和（

11

12

，1）上单调递减，在（

3

4

，

11

12

）上单调增，
且f（0）=9，f（

11

12

）=

1

27

，
∴△ABC的面积的取值范围是（0，6

3

）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．