Question

武汉某文具生产企业，上年度某商品生产的投入成本为3元/件，出厂价为4元/件，年销售量为1000万件，本年度此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜0.5），则出厂价相应提高的比例为0.625x，同时预计销售量增加的比例为0.75x；若每件投入成本增加的比例为x（0.5≤x≤1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，但预计销量增加的比例为0.04x．
（1）写出本年度该企业预计的年利润y（万元）与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x应是多少？此时最大利润是多少？（结果精确到0.001）

Answer 1

分析：（1）根据年利润y=销售收入-成本，对x分类讨论，分别求得生产成本，出厂价以及销售量，从而列出函数关系，最后写成分段函数即可得到答案；
（2）根据（1）中年利润的解析式，分两段分别求解函数的最值，一段运用二次函数求最值，一段运用一次函数的单调性求最值，最后两个最值进行比较，即可得到答案．

解答：解：根据题意可知，年利润y=销售收入-成本，
①当0＜x＜

1

2

时，生产投入的成本为3×（1+x）元/件，出厂价为4×（1+0.625x）元/件，销售量为1000（1+0.75x）万件，
∴y=[4×（1+0.625x）-3×（1+x）]×1000（1+0.75x）
=125（2-x）（4+3x）
=125（-3x²+2x+8），
②当

1

2

≤x≤1时，生产投入的成本为3×（1+x）元/件，出厂价为4×（1+0.75x）元/件，销售量为1000（1+0.04x）万件，
∴y=[4×（1+0.75x）-3×（1+x）]×1000（1+0.04x）
=1000（1+0.04x）
=40（25+x），
综合①②可得，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
∴本年度该企业预计的年利润y（万元）与投入成本增加的比例x的关系式为y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

；
（2）根据（1）可知，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
①当0＜x＜

1

2

时，y=125（-3x²+2x+8），
对称轴为x=

1

3

∈（0，

1

2

），
∴当x=

1

3

时，y取得最大值为y_max=125×[-3×(

1

3

)2+2×

1

3

+8]=125×(

1

3

+8)≈1041.667，
②当

1

2

≤x≤1时，y=40（25+x），
∴函数y在[

1

2

，1]上是单调递增函数，
∴当x=1时，y取得最大值为y_max=40×（25+1）=1040．
综上所述，由于1040＜1041.667，
∴当x=

1

3

时，最大利润为1041.667万元，
∴为使本年度的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x应是

1

3

，此时最大利润是1041.667万元．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题考查的数学模型为分段函数，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．属于中档题．