Question

17．已知约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ x-2y+3≥0\\ x≤a\end{array}\right.$，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x₀，y₀）∈D，点（m，n）∈D若3x₀-y₀与$\frac{n+1}{m}$的最小值相等，则实数a等于2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．

解答 解：先根据约束条件画出可行域，
设z₁=$\frac{y+1}{x}$=$\frac{n+1}{m}$，
将z₁的值转化可行域内的Q点与点P（0，-1）连线的斜率的值，
当Q点在可行域内的B（a，3-a）时，斜率最小，最小值为$\frac{3-a+1}{a}$=$\frac{4-a}{a}$，
设z₂=3x-y，
当z₂=3x-y过点A（1，2）时3x₀-y₀的值最小，最小值为3×1-2=1，
∵3x₀-y₀与$\frac{n+1}{m}$的最小值相等，
∴$\frac{4-a}{a}$=1，
解得a=2，
故答案为：2

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．