Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB=AC，求AC：BC．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠DCB，进而∠ADF=∠AFD，由BE为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠ADF的度数；
（2）由（1）的结论，易得△ACE∽△BCA，根据三角形相似的性质可得

AC

BC

=

AE

AB

，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答：（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠EAC
因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD=∠DCB
所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，
又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE=90°．
所以∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45°．
（2）因为∠B=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以

AC

BC

=

AE

AB

，
在△ABC中，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

AB

=tanB=tan30°=

3

3

点评：本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，其中（1）中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得到∠ADF=∠AFD，（2）的关键是根据三角形相似的性质得到

AC

BC

=

AE

AB

=tanB．