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若对满足数学公式的任意实数x,使得不等式2x3+3x2≥6(6x+a)恒成立,求实数a的取值范围.

解:由已知得1<x<3,
设f(x)=2x3+3x2-36x-6a,x∈(1,3)…(4分)
∴f’(x)=6x2+6x-36,
由f’(x)=0得x=2,x=-3舍.
当1<x<2时,f′(x)<0,
当2<x<3时,f′(x)>0…(8分)
∴f(x)在x=2处取得最小值 f(2)=-44-6a≥0,
.…(10分)
分析:由已知得1<x<3,设f(x)=2x3+3x2-36x-6a,x∈(1,3),故f‘(x)=6x2+6x-36,由f‘(x)=0得x=2,x=-3舍.由此能求出实数a的取值范围.
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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已知定义在正实数集上的函数f(x)满足①若x>1,则f(x)<0;②f(
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)
=1;③对定义域内的任意实数x,y,都有:f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x)+f(5-x)≥-2的解集为
 

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若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

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