Question

5．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x+1．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；并求f（x）在区间[0，+∞）的反函数；
（3）设h（x）=x²+2mx+m²-m+1（其中m为常数），若h（g（x））≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性可得f（-x）+g（-x）=2^-x+1，即f（x）-g（x）=2^-x+1，联立求解即可；
（2）利用定义法对于任意0≤x₁＜x₂，判断$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+\frac{1}{{{2^{x_1}}}}-{2^{x_2}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}}}=（{2^{{x_1}-{x_2}}}-1）（{2^{x_2}}-\frac{1}{{{2^{x_1}}}}）$的正负即可；利用反函数的求法用含y的表达式表示x，所以${2^x}=\frac{{y+\sqrt{{y^2}-4}}}{2}$，根据函数值的范围，确定反函数的表达式；
（3）由g（x）的表达式可知函数为增函数，利用换元法t=g（x），$m≥-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$对于$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$恒成立，只需求出右式的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）+g（x）=2^x+1①，
因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
所以有f（-x）+g（-x）=2^-x+1，即f（x）-g（x）=2^-x+1②
∵f（x），g（x）定义在实数集R上，
由①和②解得，$f（x）=\frac{{{2^{x+1}}+{2^{-x+1}}}}{2}={2^x}+\frac{1}{2^x}$，$g（x）=\frac{{{2^{x+1}}-{2^{-x+1}}}}{2}={2^x}-\frac{1}{2^x}$．
（2）$f（x）={2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$，当且仅当2^x=1，即x=0时等号成立．对于任意0≤x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+\frac{1}{{{2^{x_1}}}}-{2^{x_2}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}}}=（{2^{{x_1}-{x_2}}}-1）（{2^{x_2}}-\frac{1}{{{2^{x_1}}}}）$，
因为0≤x₁＜x₂，
所以${2^{{x_1}-{x_2}}}＜1，{2^{{x_1}-{x_2}}}-1＜0$，${2^{x_2}}＞1$，${2^{x_1}}≥1，0＜\frac{1}{{{2^{x_1}}}}≤1$，${2^{x_2}}-{2^{-{x_1}}}＞0$，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以当x≥0时，f（x）递增．
设$y={2^x}+\frac{1}{2^x}$，则y•2^x=2^2x+1，令2^x=s≥1，则s²-ys+1=0．再由$f（x）={2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$解得$s=\frac{{y±\sqrt{{y^2}-4}}}{2}$，即${2^x}=\frac{{y±\sqrt{{y^2}-4}}}{2}$．
因为$\frac{{y-\sqrt{{y^2}-4}}}{2}=\frac{2}{{y+\sqrt{{y^2}-4}}}＜1$（y≥2），所以${2^x}=\frac{{y+\sqrt{{y^2}-4}}}{2}$，
因此f（x）的反函数${f^{-1}}（x）={log_2}（x+\sqrt{{x^2}-4}）-1，x≥2$
（3）∵t=g（x）在x∈[1，2]单调递增，
∴$\frac{3}{2}≤t≤\frac{15}{4}$．
∴h（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$恒成立，
∴$m≥-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$对于$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$恒成立，
令$k（t）=-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$，则$\frac{{{t^2}+2}}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{1}{t}≥\sqrt{2}$，当且仅当$t=\sqrt{2}$时，等号成立，且$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$所以在区间$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$上$k（t）=-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$单调递减，
∴$k{（t）_{max}}=k（\frac{3}{2}）=-\frac{17}{12}$，
∴$m≥-\frac{17}{12}$为m的取值范围．

点评 考查了函数奇偶性的应用，利用定义判断函数的单调性和反函数的求解，恒成立问题的转化．