分析 (Ⅰ)在△ABC中,由题意和余弦定理求出BC、cos∠ACB,由诱导公式求出cos∠ACD,在△ACD中,由条件求出CD,由余弦定理求出AD;
(Ⅱ)在△ABD中求出BD,由余弦定理求出cos∠DAB,由内角的范围好特殊角的三角函数值求出∠DAB.
解答 解:(Ⅰ)由题意画出图象:
在△ABC中,AB=2,AC=$\frac{2}{3}$,∠BAC=60°,
则由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2•AB•AC•cos∠BAC
=4+$\frac{4}{9}$-$2×2×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{28}{9}$,
所以BC=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$,
由余弦定理得,cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2•AC•BC}$
=$\frac{\frac{4}{9}+\frac{28}{9}-4}{2×\frac{2}{3}×\frac{2\sqrt{7}}{3}}$=$-\frac{1}{2\sqrt{7}}$,
由∠ACB+∠ACD=π得,cos∠ACD=-cos∠ACB=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$,
在△ACD中,由$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CD}$得CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,
由余弦定理得,AD2=CD2+AC2-2•CD•AC•cos∠ACD
=$\frac{7}{9}+\frac{4}{9}-2×\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2\sqrt{7}}$=1,
则AD=1;
(Ⅱ)由(I)得,BD=BC+CD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$+$\frac{\sqrt{7}}{3}$=$\sqrt{7}$,
在△ABD中,由余弦定理得,
cos∠BAD=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}-B{D}^{2}}{2•AB•AD}$=$\frac{4+1-7}{2×2×1}$=$-\frac{1}{2}$,
∵0<∠BAD<π,∴∠BAD=$\frac{2π}{3}$.
点评 本题考查了余弦定理在解三角形的应用,以及诱导公式,考查化简、计算能力,属于中档题.
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物理实验等级 学生数 化学实验等接 | A | B | C |
A | 3 | 8 | 3 |
B | 6 | 1 | 2 |
C | 4 | 2 | 1 |
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A. | 5 | B. | 7 | C. | 106 | D. | 114 |
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A. | f(x)=lnx-sinx | B. | f(x)=lnx+cosx | C. | f(x)=lnx+sinx | D. | f(x)=lnx-cosx |
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