Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；
（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接B1C交BC1于点O，连接A1O．

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中

因为A1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD

（2）解：因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a

在RT△A1BO中，A1B= a，BO= a，所以BO= A1B，∠BA1O=30°，

即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°

【解析】（1）要证BC1⊥面A1B1CD；应通过证明A1B1⊥BC1 ． BC1⊥B1C两个关系来实现，两关系容易证明．（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．