【题目】2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
年龄段 |
|
|
|
|
人数（单位：人） | 180 | 180 | 160 | 80 |
约定：此单位45岁～59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
．
【答案】（1）青年观众为18人，中年观众12人；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）利用分层抽样原理计算抽出的人数即可；
（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值．
（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；
（2）2×2列联表如下：
热衷关心民生大事 | 不热衷关心民生大事 | 总计 | |
青年 | 6 | 12 | 18 |
中年 | 7 | 5 | 12 |
总计 | 13 | 17 | 30 |
计算观测值
，
∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为
，
其余两人记为
，则从中选两人，可得
共有如下15种情况,
抽出的2人都能胜任才艺表演的有
,共有6种情况，
所以所求的概率为
．
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【题目】已知函数
，函数
．
⑴若
的定义域为
，求实数
的取值范围；
⑵当
时，求函数
的最小值
；
⑶是否存在非负实数
、
，使得函数
的定义域为
，值域为
，若存在，求出
、
的值；若不存在，则说明理由．
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【题目】在直角坐标系
中，点
到两点
，
的距离之和等于
，设点的轨迹为
。
（1）求曲线的方程；
（2）过点
作直线
与曲线交于点
、
，以线段
为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线的方程，若不能请说明理由.
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【题目】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族
中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中
（
）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受
影响，恒为
分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间
的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
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【题目】某企业有
，
两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；
（2）填写
列联表，并根据列联表判断是否有
的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？
优质品 | 非优质品 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；
（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为
，求的数学期望．
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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