Question

17．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C₁：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出曲线C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（2）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）根据两角差的余弦公式将ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）展开，求得ρcosθ+ρsinθ=2，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入即可求得曲线C₁的直角坐标方程，将曲线C₂消去t可得到到曲线C₂的普通方程；
（2）将直线方程与圆的方程联立解得交点坐标，并将其转化成极坐标的形式．

解答 解：（1）∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$⇒ρcosθ+ρsinθ=2，①
将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入①即可得到曲线C₁的直角坐标方程：x+y-2=0，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$消去参数t，得到曲线C₂的普通方程为（x-4）²+（y-5）²=25；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{（{x-4）}^{2}+（y-5）^{2}=25}\end{array}\right.$，联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$转化成极坐标（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
将$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$转化成极坐标（2，$\frac{π}{2}$），
∴C₁与C₂交点的极坐标（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），（2，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程的应用、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．