Question

关于数列{a_n}有以下命题，其中错误的命题为（ ）
A．若n≥2且a_n+1+a_n-1=2a_n，则{a_n}是等差数列
B．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=1+a_n，则数列{a_n}的通项a_n=（-1）^n-1
C．若n≥2且a_n+1a_n-1=a_n²，则{a_n}是等比数列
D．若{a_n}是等比数列，且m，n，k∈N⁺，m+n=2k，则a_ma_n=a_k²

Answer 1

【答案】分析：A、当n≥2时，由a_n+1+a_n-1=2a_n，根据等差数列的性质即可得到此数列为等差数列；
B、根据已知的等式求出a₁的值，当n≥2时，由S_n-S_n-1=a_n即可得到此数列的公比，进而写出数列的通项公式；
C、举一个反例，说明{a_n}不是等比数列；
D、根据等比数列的性质即可得到此选项正确．
解答：解：A、当n≥2时，由a_n+1+a_n-1=2a_n，变形得：a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，根据等差数列的性质得到{a_n}是等差数列，本选项正确；
B、当n=1时，2S₁=2a₁=1+a₁，解得a₁=1，
n≥2时，由2S_n=1+a_n①得到：2S_n-1=1+a_n-1②，
①-②得：2a_n=a_n-a_n-1，即a_n=-a_n-1，即公比q=-1，
所以数列{a_n}为首项为1，公比为-1的等比数列，
则a_n=（-1）^n-1，本选项正确；
C、当数列{a_n}的各项为0时，满足n≥2且a_n+1a_n-1=a_n²，但数列{a_n}不是等比数列，本选项错误；
D、因为{a_n}是等比数列，m，n，k∈N⁺，m+n=2k，所以根据等比数列的性质得到a_ma_n=a_k²，本选项正确，
则错误的命题的选项为C．
故选C
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．注意说明命题为假命题经常使用举反例的方法．