Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值，

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）结合题中数据在四边形中证得，由平面面，得平面，所以，又，可得平面；（2）以坐标原点，分别以 在的直线为、轴，在底面内点过点作垂线为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，分别求出平面与平面的法向量，然后计算其夹角，由二面角的平面角与法向量的关系得到答案.

解（1），，.

，根据勾股定理可知.

又平面面，且平面平面，

平面..

又，平面.

（2）以坐标原点，分别以 在的直线为、轴，在底面内点过点作垂线为轴建立空间直角坐标系.

则，，，

所以，，

设平面法向量为，

则，

取，，

平面一个法向量为，

设平面法向量为，

则，

取，，

平面一个法向量为，

由图易知平面与平面夹角为锐角

所以平面 平面成夹角的余弦值为.