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如图;已知椭圆C:的离心率为,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求的最小值,并求此时圆T的方程;

(3)设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与轴交于点R,S,O为坐标原点。求证:为定值.

 

(1)(2)取得最小值为-,圆T的方程为:

(3)

【解析】

试题分析:(1)椭圆C:的离心率为

由椭圆的左顶点为,所以可得椭圆的标准方程

(2)点M与点N关于轴对称,设

,再根据的取值范围求出的最小值,并由取得最小值的条件确定,进而确定圆的半径.

(3)设点,利用点分别是直线轴的交点,把表示,

,结合点都在椭圆上,将表达式化简即可.

试题解析:

【解析】
(1)由题意知解之得;,由得b=1,

故椭圆C方程为;3分

(2)点M与点N关于轴对称,

不妨 设.

由于点M在椭圆C上,,

由已知,

,

阶段;

由于故当时,取得最小值为-,

,故又点M在圆T上,代入圆的方程得,故圆T的方程为:;...8分

(3)设,则直线MP的方程为

,得,同理, 故,10分

又点M与点P在椭圆上,故

为定值..14分

考点:1、椭圆的标准方程;2、圆的标准方程序;3、向量的数量积;4直线的方程.

 

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