Question

空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则x+y+

2

z的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：首先分析题目可得x²+y²+z²=1，求x+y+

2

z的最大值，可以联想到柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²的应用，构造出柯西不等式即可得到答案．

解答：解：由已知x，y，z∈R，x²+y²+z²=1，
和柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²
则构造出（1²+1²+

2

²）（x²+y²+z²）≥（x+y+

2

z）²．
即：（x+y+

2

z）²≤4
即：x+y+

2

z的最大值为2．
故答案为：2．

点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²应用广泛，需要同学们理解记忆．