Question

如图，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（0＜λ＜1）。
（1）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC；
 （2）若λ=，求三棱锥A-BEF的体积。

Answer 1

（1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD = 90°，所以，BC⊥CD，
又AB∩BC=B，所以，CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且，
所以，不论λ为何值，EF//CD，总有EF⊥平面ABC。
（2）解：在△BCD中，∠BCD = 90°，BC=CD=1，所以，BD=，
又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BD，
又在Rt△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=Bdtan60°=。
由（1）知EF⊥平面ABE，
∴，
所以，三棱锥A-BCD的体积是。