【题目】根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位
（单位：米）的频率分布直方图如下.将河流水位在
，
，
，
，
，
，
各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.
（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位
的概率（结果用分数表示）.
（2）已知该河流对沿河
工厂的影响如下：当
时，不会造成影响；当
时，损失50000元；当
时，损失300000元.为减少损失，工厂制定了三种应对方案.
方案一：不采取措施；
方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；
方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.
试问哪种方案更好，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
工厂应采用方案二.
【解析】
（1）根据频率分布直方图，先得到河流水位
的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位”为事件，即可由
求出结果；
（2）记工厂的工程费与损失费之和为
，根据题意分别求出三种方案中的期望，比较大小，取期望最小的即可.
解：（1）由频率分布直方图可知河流水位的概率为
.
记“在未来4年中，至少有2年河流水位”为事件，
则
.
（2）记工厂的工程费与损失费之和为（单位：元）.
①若采用方案一，则的分布列为
| 0 | 50000 | 300000 |
| 0.78 | 0.2 | 0.02 |
（元）.
②若采用方案二，则的分布列为
| 8000 | 308000 |
| 0.98 | 0.02 |
（元）.
③若采用方案三：
（元）.
因为
，所以工厂应采用方案二.
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列说法正确的个数是（ ）．
①“若
,则
,
中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；
②命题“设
,若
,则
或
”是一个真命题；
③命题
,
,则
是
的必要不充分条件；
④命题“
,使得
”的否定是：“
，均有
”．
A.4B.3C.2D.1
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【题目】已知椭圆
：
过点
，且它的焦距是短轴长的
倍.
（1）求椭圆的方程.
（2）若
，
是椭圆上的两个动点（，两点不关于
轴对称），
为坐标原点，
，
的斜率分别为
，
，问是否存在非零常数
，使当
时，
的面积
为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】设椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，下顶点为
，椭圆的离心率是
，
的面积是
.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线
与椭圆交于
，
两点（异于点），若直线
与直线
的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
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【题目】在直角坐标系
中，
是过定点
且倾斜角为
的直线；在极坐标系（以坐标原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于不同的两点
，求
的取值范围.
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【题目】设抛物线
的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过点
的直线
分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且
，求四边形
面积的最小值.
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