Question

2．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE，M点是此时BD的中点．

（1）求异面直BE和CM所成角的大小；
（2）求BD与平面ADE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过线面垂直，求异面直BE和CM所成角的大小；
（2）通过直线与平面垂直，找出BD和平面ADE所成角，然后求出所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AE⊥BE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥EF．
取AD中点F，连接EF，MF，则MF平行且等于CE，
∴CEFM是平行四边形，
∴CF∥EM，
∴BE⊥CM，
∴异面直BE和CM所成角的大小为90°；
（2）因为（1）BE⊥平面ADE，所以BD和平面ADE所成角就是∠BDE，
DE=1，BE=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$
∴BD和面ADE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，折叠问题，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，计算能力．