Question

已知x，y满足线性约束条件

x-y+5≥0 x+y-5≥0 x≤3

求：
（1）Z₁=2x+4y的最大值和最小值．
（2）Z₂=

y

x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数Z₁=2x+4y对应的直线进行平移，并观察y轴上的截距变化，可得当l分别经过B、C时目标函数z达到最小值和最大值，由此可得答案．
（2）设P（x，y）、Q（0，-1），可得Z₂=

y

x+1

表示直线P、Q连线的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可算出Z₂的最大值和最小值．

解答：解：（1）作出不等式组

x-y+5≥0 x+y-5≥0 x≤3

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（3，2），C（3，8）
设Z₁=F（x，y）=2x+4y，将直线l：Z₁=2x+4y进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得
当l经过B时，目标函数z达到最小值；当l经过C时，目标函数z达到最小值．
∴Z₁的最小值为F（3，2）=14；Z₁的最大值为F（3，8）=38．
（2）设P（x，y）为区域内的动点，可得
Z₂=

y

x+1

表示直线P、Q连线的斜率，其中Q（-1，0）
运动点P，可得当P与A点重合时，Z₂=

5

0+1

=5，达到最大值；
当P与B点重合时，Z₂=

2

3+1

=

1

2

，达到最小值，
∴Z₂=

y

x+1

的最大值为5，最小值为

1

2

．

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值和最小值，着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．