Question

如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）设二面角A-FD-B的大小为θ，求sinθ的值；
（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M→E→C的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值．

Answer 1

分析：（1）要证线线垂直，只需要证明线面垂直，即证AC⊥平面ABF，再利用线面垂直的判定，即可证得；
（2）设点A在平面BFD内的射影为O，过A作AG⊥DF于G，连接GO，则∠AGO为二面角A-FD-B的平面角．只要求出AO，AG即可求得；
（3）设AC与BD相交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面BFD．当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，故可求．

解答：（1）证明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，
∴AC²=1+4-2×1×2×cos60°=3
∴AC=

3

，
又∵AB=1，BC=2
∴∠BAC=∠ACD=

π

2

，
∴AC⊥AB
又AF⊥AC，AB∩AF=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF．（4分）
（2）解：∵AB=1，AD=2，∠BAD=120°，
∴BD²=1+4-2×1×2×cos120°=7
∴BD=

7

∵AF=1，AB=1，AF⊥AB
∴△ABF是直角三角形，且BF=

2

∵AF=1，AD=2，AF⊥AD
∴DF=

5

，
∵BD=

7

，BF=

2

，DF=

5

，
∴∠BFD=90°．
设点A在平面BFD内的射影为O，过A作AG⊥DF于G，连接GO，则∠AGO为二面角A-FD-B的平面角．
即∠AGO=θ，
在△ADF中，由等面积法求得AG=

AF×AD

DF

=

2

5

，
由等体积法，V_A-BDF=V_F-ABD
∴

1

3

×

1

2

×

2

×

5

×AO=

1

3

×

1

2

×1×2×1×sin120°
∴点A到平面BFD的距离是AO=

30

10

，
所以sin∠AGO=

6

4

，即sinθ=

6

4

（8分）
（3）解：设AC与BD相交于O，则OF∥CM，
所以CM∥平面BFD．
当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，(VP-BFD)min=VC-BFD=VF-BCD=

1

3

•

1

2

•2•1•sin120°•1=

3

6

．（12分）

点评：本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查转化问题的能力，综合性强．